Gleichgewichtslage

Die Gleichgewichtslage eines mechanischen Systems ist die Position, in der die Summe der einwirkenden Kräfte null beträgt. Auf dieser Seite erfährst du, was die Gleichgewichtslage einer Masse, die an einer Feder schwingt, beeinflusst und wie man diese Position bestimmt. Bevor wir den Fall der vertikalen Feder behandeln, beginnen wir mit dem einfacheren Fall einer Masse, die an einer horizontalen Feder hängt.

Horizontale Feder

Stell dir eine Masse vor, die an einer horizontalen Feder befestigt ist und auf einem Tisch liegt (unter Idealbedingungen, die Reibung kann also vernachlässigt werden). Die Position, in der die Feder weder gedehnt noch gestaucht wird, ist die Gleichgewichtslage (x=0 in Abbildung 1) und entspricht der natürlichen Länge der Feder L₀. Wenn du die Masse in dieser Position an der Feder befestigst, bleibt die Masse in Ruhe und bewegt sich nicht - wenn sie nicht gestört wird. Die einzigen Kräfte, die in dieser Konfiguration auf die Masse wirken (ihr Gewicht F_w, und die Normalkraft des Tischs F_n), sind vertikale Kräfte, die einander ausgleichen

Abbildung 1: Horizontale Feder

Wenn du eine andere Masse an der Feder in dieser Position anbringen, ändern sich die vertikalen Kräfte, aber sie heben sich immer noch auf, so dass die Gesamtkraft immer noch Null ist (F_TOT=F_w+F_n=0). Das bedeutet, dass die Gleichgewichtslage einer horizontalen Feder unabhängig von der an ihr befestigten Masse ist. Das gleiche gilt, wenn du z. B. die Feder gegen eine steifere Feder mit der gleichen natürlichen Länge austauschst: Die Gleichgewichtslage bleibt unverändert.

Vertikale Feder

Betrachten wir nun eine Masse, die an einer vertikalen idealen Feder befestigt ist, wie in dieser Simulation. Wenn die Feder unbelastet ist (Abbildung 2 (a)), ist ihre Gleichgewichtskonfiguration wieder der Zustand, in dem sie weder gedehnt noch gestaucht wird, also ihre natürliche Länge L₀ aufweist. Wenn du in dieser Konfiguration eine Masse an der Feder anbringst (Bild 2 (b)), ist die Gesamtkraft, die auf die Masse wirkt, durch ihr Gewicht gegeben und nach unten gerichtet. Die Masse bewegt sich nach unten und dehnt dabei die Feder. In dieser Situation sind die auf die Masse wirkenden Kräfte ihr Gewicht (F_w, das während der Schwingung konstant ist) und die elastische Rückstellkraft der Feder, definiert durch das Hookesche Gesetz,F_el . Letztere ist nicht konstant, sondern ändert sich linear mit der Verschiebung. Der Punkt, an dem die elastische Kraft gleich der Gewichtskraft der Masse ist, ist die Gleichgewichtslage der Masse (Abbildung 2 (c)). In diesem Punkt ist nämlich die Gesamtkraft gleich Null,

F_TOT = F_w + F_el = mg - kx = 0.

Abbildung 2: Vertikale Feder

Dieser Punkt hängt von der Größe der elastischen Kraft (F_el=-kx) und dem Gewicht der Masse (F_w=mg) ab, so dass er von Änderungen der Steifigkeit der Feder (k) und verschiedenen Massen (m) beeinflusst wird. Seine Distanz zur Gleichgewichtslage der Feder x=0 (hier Gleichgewichtsverschiebung oder Gleichgewichtsausdehnung x_eq genannt), ist gegeben durch:

Dabei ist m die Masse, g die Schwerkraft und k die Federkonstante. Je schwerer die Masse, desto größer ist die Gleichgewichtsverschiebung. Je steifer die Feder, desto kleiner ist die Gleichgewichtsverschiebung.