Derivación de la ley de gravitación universal

A continuación, intentamos entender la forma en que Newton desarrolló su ley teniendo en cuenta algunos principios y observaciones básicas sobre un objeto (masa m minúscula), la Tierra (masa M mayúscula) y la Luna:

• g aceleración gravitacionalindependiente de m (F_G=mg):

Galileo demostró que en la Tierra (masa M) todos los objetos caen a la misma velocidad (ignorando la resistencia del aire), es decir, la aceleración gravitacional g es independiente de m la masa de un objeto, m minúscula. Por tanto, la fuerza gravitacional debe ser proporcional a m y puede expresarse como F_G=mg F G es igual a la masa de un objeto multiplicado por la aceleración gravitacional g (segunda ley de movimiento de Newton). La aceleración gravitacional g es independiente de m, pero puede depender de M la masa de la Tierra y r, es decir, g es una función de M M mayúscula y r.

• g aceleración gravitacional proporcional a la masa de la Tierra (g~M):

La dependencia de g con respecto a M M mayúscula es difícil de medir (excepto si estás en un laboratorio virtual en el que es posible cambiar la masa M de la Tierra), pero, dada la tercera ley de movimiento de Newton sabemos que la fuerza que ejerce la Tierra (masa M) sobre el objeto (masa m) debe ser de la misma magnitud que la fuerza que el objeto (masa m) ejerce sobre la Tierra (masa M). Por tanto, F_g F G minúscula y g deben ser proporcionales a M M mayúscula.

• g aceleración gravitacional proporcional a la inversa del cuadrado de la distancia:

La gran aportación de Newton fue generalizar la fuerza gravitacional y aplicar ese concepto no solo a los objetos de la Tierra, sino a todos los objetos, incluida la Luna.

Identificó la aceleración gravitacional como una aceleración centrípeta que mantiene a la Luna en órbita, y, de esa forma, fue capaz de estimar la aceleración gravitacional a una distancia (Tierra-Luna), que es aproximadamente 60 veces el radio de la Tierra. Si asumimos una órbita circular, la aceleración es aproximadamente 3600 veces menor que en la superficie de la Tierra. A partir de ello, dedujo la ley de la inversa del cuadrado.

Combinando las consideraciones expuestas y añadiendo la constante de gravitación, G G mayúscula llegamos a la expresión de la fuerza gravitacional F_G F G mayúscula que se muestra en el lado superior derecho de la figura 1.

Al aplicar la ley, Newton fue capaz de calcular las órbitas de los planetas e incluso descubrió que la trayectoria en órbita más común es una elipse, lo que coincide con la primera ley de movimiento planetario de Kepler. Además, Newton pudo demostrar matemáticamente que todas las posibles trayectorias de un objeto en un campo gravitatorio pueden describirse como secciones cónicas.

Figura 1: Newton dedujo que la Tierra no solo atraía a la manzana, sino también a la Luna. Al deducir la aceleración gravitacional de la Luna, Newton ideó la ley de la inversa del cuadrado.

Forma vectorial:

Hasta ahora, hemos simplificado nuestra explicación y solo hemos considerado la magnitud de la fuerza gravitacional. En su forma vectorial, la fuerza gravitacional que actúa sobre la masa m debido a la atracción de la masa M capital M viene dada por la ecuación que se muestra en el lado inferior derecho de la figura 1, donde r_mM viene dada por r_M-r_m y r_mM = |r_M-r_m|la distancia entre m minúscula y M mayúscula en negrita viene dada por la diferencia entre la distancia de la M mayúscula y la distancia de la m minúscula en negrita; la distancia entre m minúscula y M mayúscula viene dada por el módulo de la diferencia entre la distancia de M mayúscula y la distancia de m minúscula en negrita.