Labster Logo

Dérivation de la période d'oscillation et de l'accélération gravitationnelle

Hypothèses présentées dans la théorie du pendule simple l'équation différentielle décrivant le mouvement d'un pendule simple est présentée dans la première ligne de la figure 1, où la deuxième loi du mouvement de Newton est appliquée à un système rotatif (non couvert par la section théorique de cette simulation). Ici, la masse m s'annule, c'est-à-dire que le mouvement est indépendant de la masse attachée.

Pour les petits déplacements (approximation des petits angles), l'équation peut être encore simplifiée, comme présenté dans la deuxième ligne de la figure 1, qui est l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique. Avec les conditions aux limites (déplacement maximal à t=0 et vitesse angulaire nulle à t=0), la solution pour le déplacement θ(t) peut être déterminée, comme dans la troisième ligne de la figure 1.

À partir de la fréquence, on peut calculer la période d'oscillation qui peut être utilisée pour déterminer l'accélération gravitationnelle g en mesurant la période d'oscillation (et la longueur de fil L connue), comme illustré à la dernière ligne de la figure 1.

Dérivation de la formule de l'accélération. L'équation "A" simplifie l'équation différentielle du mouvement d'un pendule simple en une formule indiquant que la dérivée partielle du carré de l'angle thêta divisé par la dérivée partielle du temps au carré plus l'accélération divisée par la longueur multipliée par le sinus de thêta est égale à zéro. L'équation "B" simplifie cette formule pour les petits angles de déplacement, en indiquant que la dérivée partielle du carré de l'angle thêta divisé par la dérivée partielle du temps au carré est égale à l'accélération divisée par la longueur multipliée par l'angle thêta, qui est l'équation de l'oscillateur harmonique. L'équation "C" pose des limites supplémentaires, modifiant l'équation, où la valeur de l'angle thêta dans le temps est égale à thêta maximum multiplié par le cosinus de la racine carrée de l'accélération multiplié par la longueur multiplié par le temps. L'équation finale "D" introduit l'équation de fréquence où la période d'oscillation est égale à 2 fois pi fois la racine carrée de la longueur divisée par l'accélération. De cette équation ,on déduit l'accélération, qui est égale à 4 fois pi au carré fois la longueur, divisée par la période d'oscillation au carré.

Figure 1 : Équations pour la dérivation de la période d'oscillation et de l'accélération gravitationnelle.

Renvoyé par :

Article
Pendule simple