Dérivation de la loi de gravitation universelle

Dans ce qui suit, nous essayons de comprendre comment Newton est arrivé à sa loi en considérant quelques principes et observations de base impliquant la masse d'un objet représenté par la lettre m minuscule, la masse de la Terre représentée par le M majuscule et la lune :

• g ne dépend pas de m (F_G=mg):

Galilée a démontré que sur Terre (masse M) tous les objets tombent à la même vitesse (en négligeant la résistance de l'air), c'est-à-dire que l'accélération gravitationnelle g est indépendante de m . Ainsi, la force gravitationnelle doit être proportionnelle à m et peut s'écrire comme suit : F_G=mg (Deuxième loi du mouvement de Newton). L'accélération gravitationnelle g est indépendante de m mais pourrait dépendre de M et r, c'est-à-dire que g est une fonction de M et de r.

• g proportionnelle à la masse de la Terre (g~M):

La dépendance de g à l'égard de M est difficile à mesurer (sauf si vous êtes dans un laboratoire virtuel où vous pouvez changer la masse de la Terre M) mais puisque la troisième loi du mouvement de Newton tient, nous savons que la force que la Terre (masse M) exerce sur l'objet de masse m doit être de la même grandeur que la force que l'objet (masse m) exerce sur la Terre (masse M). Ainsi, la F_g . et aussi g doit être proportionnel à M .

• g proportionnelle à l'inverse du carré de la distance:

La grande idée de Newton était de généraliser la force gravitationnelle et d'appliquer le concept non seulement aux objets sur Terre mais aussi à tous les objets, y compris la lune.

Il a identifié l'accélération gravitationnelle comme étant l'accélération centripète qui maintient la lune en orbite et il a donc pu estimer l'accélération gravitationnelle à une distance (Terre - lune) qui est environ 60 fois le rayon de la Terre. En supposant une orbite circulaire, l'accélération est environ 3 600 fois plus faible qu'à la surface de la Terre. Il en a déduit la loi de l'inverse du carré.

En combinant les considérations ci-dessus et en ajoutant la constante gravitationnelle G . nous arrivons à l'expression de la force gravitationnelle F_G représentée sur le côté supérieur droit de la figure 1.

En appliquant cette loi, Newton a pu calculer les orbites des planètes et a effectivement constaté que la trajectoire (orbite) liée la plus générale est une ellipse - en accord avec la première loi de Kepler sur le mouvement planétaire. De plus, Newton a pu montrer mathématiquement que toutes les trajectoires possibles d'un objet dans un champ gravitationnel peuvent être décrites par des sections coniques.

Figure 1 : Newton a supposé que non seulement la pomme mais aussi la lune devaient être attirées par la Terre. En déduisant l'accélération gravitationnelle de la lune, Newton a élaboré la loi du carré inverse.

Forme vectorielle :

Jusqu'à présent, nous avons simplifié notre discussion et considéré uniquement la magnitude de la force gravitationnelle. Sous forme vectorielle, la force gravitationnelle agissant sur la masse m en raison de l'attraction de la masse M est donnée par l'équation du côté inférieur droit de la figure 1, où r_mM est donné par r_M-r_m et r_mM = |r_M-r_m|.