Derivazione della legge di gravitazione universale
Di seguito cerchiamo di capire come Newton è arrivato alla sua legge considerando alcuni principi di base e osservazioni che riguardano la massa di un oggetto raffigurato dalla lettera m minuscola, la massa della Terra raffigurata dalla M maiuscola e la Luna:
g accelerazione gravitazionale indipendente da m (FG=mg):
Galileo dimostrò che sulla Terra (massa M) tutti gli oggetti cadono alla stessa velocità (trascurando la resistenza dell'aria), cioè l'accelerazione gravitazionale g è indipendente da
g accelerazione gravitazionale proporzionale alla massa della Terra (g~M):
La dipendenza di g da
g accelerazione gravitazionale proporzionale all'inverso del quadrato della distanza:
La grande idea di Newton fu quella di generalizzare la forza gravitazionale e di applicare il concetto non solo agli oggetti sulla Terra ma a tutti gli oggetti, compresa la Luna.
Ha identificato l'accelerazione gravitazionale come accelerazione centripeta che mantiene la Luna in orbita ed è stato quindi in grado di stimare l'accelerazione gravitazionale ad una distanza (Terra - Luna) che è circa 60 volte il raggio della Terra. Supponendo un'orbita circolare, l'accelerazione è circa 3.600 volte più piccola che sulla superficie della Terra. Da questo ha 'indovinato' la legge dell'inverso del quadrato.
Combinando le considerazioni di cui sopra e aggiungendo la costante gravitazionale
Applicando i principi, Newton fu in grado di calcolare le orbite dei pianeti e infatti trovò che la traiettoria (orbita) più generale e vincolata è un'ellisse - in accordo con la prima legge del moto planetario di Keplero. Inoltre, Newton dimostrò matematicamente che tutte le possibili traiettorie di un oggetto in un campo gravitazionale possono essere descritte da sezioni coniche.
Figura 1: Newton suppose che non solo la mela ma anche la Luna fosse attratta dalla Terra. Deducendo l'accelerazione gravitazionale della Luna, Newton arrivò alla legge dell'inverso del quadrato.
Forma vettoriale:
Finora abbiamo semplificato la nostra discussione e considerato solo la grandezza della forza gravitazionale. In forma vettoriale la forza gravitazionale che agisce sulla massa m a causa dell'attrazione della massa